哥德巴赫猜想是什么？

一句话结论：哥德巴赫猜想说"每个大于 2 的偶数都能写成两个素数之和"。它提出于 1742 年，至今没有被证明，也没有找到反例。

猜想说了什么

素数是只能被 1 和自身整除的大于 1 的整数：2、3、5、7、11、13……

随手试几个偶数：

偶数	写成两个素数之和
4	2 + 2
6	3 + 3
8	3 + 5
10	3 + 7 = 5 + 5
28	5 + 23 = 11 + 17
100	3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53

每一个都成功了，而且数越大，拆法往往越多。哥德巴赫猜想断言：这件事对所有大于 2 的偶数都成立。

对每个偶数 n > 2, 存在素数 p, q 使得 n = p + q .

这就是通常所说的强哥德巴赫猜想，也叫"二元哥德巴赫猜想"或"1+1"。

弱猜想：三个素数

与它配套的还有一个弱哥德巴赫猜想（"三元哥德巴赫猜想"）：

每个大于 5 的奇数都能写成三个素数之和。

例如 $7 = 2 + 2 + 3$ ， $9 = 3 + 3 + 3$ ， $15 = 3 + 5 + 7$ 。

它叫"弱"，是因为强猜想一旦成立，弱猜想马上跟着成立：奇数 $n > 5$ 减去 3 得到大于 2 的偶数，再用强猜想拆成两个素数，加上那个 3 就是三个素数。反过来却推不出来。

弱猜想已经被证明了：1937 年维诺格拉多夫证明它对"充分大"的奇数成立，2013 年赫尔夫戈特（Harald Helfgott）把剩下的范围也全部解决。这段历史见《弱哥德巴赫猜想的完全证明》。

它从哪里来

1742 年 6 月 7 日，普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）在给欧拉（Leonhard Euler）的信中写下了一个猜测。按今天的说法，大意是每个大于 2 的整数都能写成三个素数之和。当时不少数学家把 1 也算作素数，所以原话和今天的表述不完全一样。

欧拉在 1742 年 6 月 30 日的回信中指出，这个说法可以由一个更强、更干净的命题推出：每个偶数都是两个素数之和。欧拉说他相信这是对的，但给不出证明。今天说的"哥德巴赫猜想"，其实是欧拉改写后的版本。

为什么大家相信它是对的

计算验证：2014 年，奥利维拉·席尔瓦（Tomás Oliveira e Silva）、赫尔佐格（Siegfried Herzog）和帕尔迪（Silvio Pardi）用计算机验证了所有不超过 $4 \times 1 0^{18}$ 的偶数都满足猜想。详见《计算验证》。
拆法越来越多：偶数越大，能拆成两个素数之和的方法数总体上越来越多（把它画出来就是著名的"哥德巴赫彗星"，可以在本站的彗星图工具里自己画）。到了很大的数，拆法多达成千上万种，一种都没有很难想象。
"几乎所有"偶数都成立：数学上已经证明，满足不了猜想的偶数（如果存在的话）极其稀少。详见《例外集》。

但这些都不是证明。数学要求对每一个偶数都成立，验证再多也只是有限个，而"极其稀少"也不等于"一个都没有"。

今天证明到了哪一步

结果	内容	状态
弱哥德巴赫猜想	每个大于 5 的奇数是三个素数之和	已证明（维诺格拉多夫 1937 充分大；赫尔夫戈特 2013 全部）
陈景润定理"1+2"	每个充分大的偶数 = 一个素数 + 一个不超过两个素数的乘积	已证明（1966 年公布，1973 年发表完整证明）
强哥德巴赫猜想"1+1"	每个大于 2 的偶数是两个素数之和	未证明

"1+2"是什么意思、它离"1+1"还差在哪里，见《从"9+9"到"1+2"》和《陈景润定理》。

自己动手试试

偶数拆分计算器：输入任意偶数，列出所有拆成两个素数的方法
三素数拆分器：输入奇数，写成三个素数之和

参考文献

C. Goldbach，致 L. Euler 的信，1742 年 6 月 7 日；L. Euler 回信，1742 年 6 月 30 日。收录于 P. H. Fuss (ed.), Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle, 第 1 卷, 圣彼得堡, 1843.
I. M. Vinogradov, "Representation of an odd number as a sum of three primes", Doklady Akad. Nauk SSSR 15 (1937), 291–294.
H. A. Helfgott, "The ternary Goldbach problem", arXiv:1501.05438.
Chen Jingrun（陈景润）, "On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes", Scientia Sinica 16 (1973), 157–176.
T. Oliveira e Silva, S. Herzog, S. Pardi, "Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4·10¹⁸", Mathematics of Computation 83 (2014), 2033–2060.